Les traigo un famoso dilema probabilístico, basado en un concurso de T.V.
Supón que estás en un concurso de Sábados Gigantes, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un auto nuevo, y detrás de las otras dos sólo hay un premio de consuelo (una cabra). Tienes que escoger una de las 3 puertas, y ganas lo que hay detrás de la puerta. La idea obvia es intentar ganar el auto.
Escoges una puerta, digamos la N°1. Antes de abrir la puerta elegida (N°1), Don Francisco (el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada una de las tres puertas) nos da una pequeña ayuda abriendo otra puerta, digamos la N°3, que contiene siempre una cabra (lógicamente no nos va a abrir la puerta que contiene al auto). Entonces te pregunta: "¿Prefieres mantener tu elección inicial (N°1) o prefieres cambiar y escoger la N°2 ?".
¿Qué es mejor, mantener la elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia probabilística?
El dilema Monty Hall fue publicado por primera vez en una sección de puzzles en la revista americana "Parade", en 1990. La columnista , Marilyn von Savant, fue la encargada de publicar el dilema (von Savant tiene el récord de tener el coeficiente intelectual más elevado del mundo, con un puntaje increíble de 228). En realidad este problema no es original de ella, puesto que es una nueva formulación del problema proporcionado por Steve Selvin en una carta a American Statistician (febrero de 1975), como también es un problema análogo al denominado problema de los tres prisioneros aparecido en Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959.
La respuesta: tienes el doble de probabilidad de ganar el auto si cambias la puerta elegida originalmente.
La historia nos cuenta que se creó un gran revuelo. Se recibieron alrededor de 10.000 cartas denunciando a la columnista Marilyn von Savant, por dar una respuesta absurda y errónea. Todo el mundo pensaba que las probabilidades de ganar eran de un 50% (el presentador al descartar una de las 3 puertas con una cabra, nos otorgaba una chance de dos de acertar, ya que quedaban dos puertas: una con un auto y la otra con una cabra). Es decir, todo el mundo pensaba que no habría diferencia entre cambiar o no cambiar la puerta escogida originalmente.
Entre las cartas enviadas, habían cerca de 1000 que provenían de personas con grado de doctorado (Ph.D), incluso algunos matemáticos, acá una lista de respuesta de varios doctorados que finalmente quedaron como bobos. Un famoso y eminente matemático (Paul Erdős) no creyó la solución hasta que lo comprobó vía simulación computacional. La suposición errónea es que, una vez que sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el auto. Es errónea ya que el presentador abre la puerta "descartada" después de la elección del concursante. Es decir, la elección inicial del concursante afecta y condiciona la puerta que abre el presentador.
Lo más fascinante de todo es que este problema es realmente sencillo y simple de solucionar, y sin embargo, nuestra intuición está equivocada y no nos permite comprender ciertos conceptos de probabilidades.
Solución del problema: debemos diferenciar dos casos.
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1) Supongamos que el concursante NO CAMBIA la puerta elegida originalmente:
Tenemos 3 puertas, 1 auto, por lo tanto la probabilidad de ganar el auto es de 1/3 (33,33%), y la probabilidad de obtener una cabra es de 2/3 (66,66%). Esto es válido independiente de si el presentador nos muestra una puerta o no, ya que el concursante mantiene su elección inicial, por tanto la elección de ganar el auto siempre será de 1/3.
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2) Supongamos que el concursante CAMBIA la puerta elegida originalmente:
Diferenciamos dos escenarios
2A) Si la puerta elegida originalmente por el concursante era el auto, entonces al cambiar la elección obtenemos una cabra.
2B) Si la puerta elegida originalmente por el concursante era una cabra, entonces al cambiar de elección obtenemos el auto. Explicación: como el presentador nos ayuda revelando una puerta (que siempre es una cabra), entonces en este caso ya tendríamos dos cabras consideradas, y por descarte ganaríamos el auto sí o sí.
Los casos 2A) y 2B) son mutuamente excluyentes, resumiendo tenemos:
Elección de la puerta puerta original = auto <=> al cambiar elección de la puerta obtenemos una cabra.
Elección de la puerta puerta original = cabra <=> al cambiar elección de la puerta obtenemos el auto.
Conclusión: como la probabilidad de haber elegido originalmente una cabra es de 2/3, entonces obtenemos que la probabilidad de obtener el auto es de 2/3 cuando cambiamos la elección original de la puerta.
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Recordar, punto 1), que si no cambiábamos la elección original de la puerta, obteníamos 1/3 probabilidad de ganar el auto.
Por lo tanto, tenemos el doble de probabilidad de ganar el auto si se cambia la puerta elegida originalmente (2/3 v/s 1/3). El concursante debe cambiar su elección original si quiere maximizar la probabilidad de obtener el auto.
Por si alguien se perdió en la argumentación, acá un video didáctico:
